Giai 50 hinh hoc

 

01. Cho tam giác ABC có AB=AC. Gọi M là trung điểm của BC.

Chứng minh: AM là đường trung trực của BC.

Giả thiết:

AB=AC, Mlà trung điểm BC

Chứng minh: AM⊥BCvà MB=MC

Lời giải:

Xét hai tam giác △ABMvà △ACM:

AB=AC(giả thiết)

BM=CM(vì Mlà trung điểm)

AMchung

⇒ △ABM=△ACM(c.c.c)

Suy ra:

∠AMB=∠AMC

Mà hai góc này kề bù nên mỗi góc bằng 90^∘

⇒ AM⊥BC

02. Cho tam giác ABC. Gọi M,Nlà trung điểm của AB,AC.

Chứng minh: △AMN∼△ABC.

Giả thiết: M,Nlà trung điểm của AB,AC

Chứng minh: △AMN∼△ABC

Lời giải:

AM=1/2 AB, AN=1/2 AC

MN"∥" BC(định lý đường trung bình)

⇒ ∠AMN=∠ABC, ∠ANM=∠ACB

⇒ △AMN∼△ABC(g.g)

Giả thiết: DE"∥" BC

Chứng minh: △ADE∼△ABC

Lời giải:

∠ADE=∠ABC

∠AED=∠ACB

⇒ △ADE∼△ABC(g.g)

03. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AD vuông góc với BC.

Chứng minh: BD=DC.

Giả thiết: tam giác ABCcân tại A, AD⊥BC

Chứng minh: BD=DC

Lời giải:

Xét △ABDvà △ACD:

AB=AC

ADchung

∠ADB=∠ADC=90^∘

⇒ △ABD=△ACD(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ BD=DC

04. Cho tam giác ABC. Kẻ DE"∥" BC.

Chứng minh: △ADE∼△ABC.

Giả thiết: Tam giác vuông, kẻ đường cao AH

Chứng minh: △AHB∼△ABC

Lời giải:

∠AHB=90^∘=∠A

Góc Bchung

⇒ △AHB∼△ABC

05. Cho tam giác ABC, AB=AC. Kẻ BM⊥AC, CN⊥AB.

Chứng minh: BM=CN.

Giả thiết: AB=AC, BM⊥AC, CN⊥AB

Chứng minh: BM=CN

Lời giải:

Xét △ABMvà △ACN:

AB=AC

∠AMB=∠ANC=90^∘

∠BAM=∠CAN(chung góc A)

⇒ △ABM=△ACN(cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BM=CN

06. Cho tam giác vuông ABC. Kẻ đường cao AH.

Chứng minh: △AHB∼△ABC.

Lời giải:

Từ bài 28 và tương tự:

△AHB∼△ABC

△AHC∼△ABC

⇒ Cả hai tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ban đầu

07. Cho đoạn thẳng AB, Mlà trung điểm. Kẻ MC⊥AB.

Lấy điểm Dsao cho Mlà trung điểm của CD.

Chứng minh: AC=BD.

Giả thiết: Mlà trung điểm ABvà CD

Chứng minh: AC=BD

Lời giải:

Xét △AMCvà △BMD:

AM=MB

CM=MD

∠AMC=∠BMD(đối đỉnh)

⇒ △AMC=△BMD(c.g.c)

⇒ AC=BD

08. Chứng minh: trong tam giác vuông, đường cao tạo ra hai tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu.

Chứng minh: Tạo ra các tam giác đồng dạng (khi có thêm điều kiện thích hợp)

Lời giải:

Sử dụng định lý phân giác

Chứng minh hai cặp góc bằng nhau

⇒ suy ra đồng dạng (g.g)

09. Cho tam giác ABC. Gọi M,Nlần lượt là trung điểm của AB,AC.

Chứng minh: BM=CNkhi AB=AC.

Giả thiết: AB=AC, M,Nlà trung điểm

Chứng minh: BM=CN

Lời giải:

BM=AB/2

CN=AC/2

Mà AB=AC

⇒ BM=CN

10. Cho tam giác ABC. Kẻ đường phân giác AD.

Chứng minh: các tam giác tạo thành đồng dạng khi có điều kiện thích hợp.

Chứng minh: AM/AB=AN/AC

Lời giải:

Từ MN"∥" BC:

⇒ △AMN∼△ABC

⇒ AM/AB=AN/AC

11. Cho tam giác ABC, AB=AC. Gọi Dlà điểm trên BCsao cho BD=DC.

Chứng minh: AD⊥BC.

Giả thiết: AB=AC, BD=DC

Chứng minh: AD⊥BC

Lời giải:

Xét △ABDvà △ACD:

AB=AC

BD=DC

ADchung

⇒ △ABD=△ACD(c.c.c)

⇒ ∠ADB=∠ADC

Hai góc kề bù ⇒ mỗi góc =90^∘

⇒ AD⊥BC

12. Cho tam giác ABC. Kẻ MN"∥" BC.

Chứng minh: AM/AB=AN/AC.

Chứng minh: AM/AB=AN/AC

Lời giải:

Từ MN"∥" BC:

⇒ △AMN∼△ABC

⇒ AM/AB=AN/AC

13. Cho tam giác ABC. Kẻ hai đường cao BD,CE.

Chứng minh: nếu AB=ACthì BD=CE.

Giả thiết: AB=AC, BD,CElà đường cao

Chứng minh: BD=CE

Lời giải:

Xét △ABDvà △ACE:

AB=AC

∠ADB=∠AEC=90^∘

∠BAD=∠CAE

⇒ △ABD=△ACE

⇒ BD=CE

14. Cho tam giác ABC. Gọi D,Etrên AB,ACsao cho DE"∥" BC.

Chứng minh: △ADE∼△ABC.

Chứng minh: △ADE∼△ABC

Lời giải:

Giống bài 27 ⇒ đồng dạng (g.g)

15. Cho tam giác ABCcân tại A. Gọi Mlà trung điểm BC.

Chứng minh: △ABM=△ACM.

Giả thiết: tam giác cân, Mtrung điểm

Chứng minh: △ABM=△ACM

Lời giải:

AB=AC

BM=CM

AMchung

⇒ △ABM=△ACM(c.c.c)

16. Cho tam giác vuông. Kẻ đường cao từ góc vuông.

Chứng minh: △AHB∼△AHC.

Chứng minh: △AHB∼△AHC

Lời giải:

Cùng có góc vuông

Góc tại A chung

⇒ △AHB∼△AHC

17. Cho hai đoạn thẳng AB=CD, AC=BD.

Chứng minh: △ABC=△CDA.

Giả thiết: AB=CD, AC=BD

Chứng minh: △ABC=△CDA

Lời giải:

Xét:

AB=CD

AC=BD

BC=AD(chung hoặc suy ra)

⇒ △ABC=△CDA(c.c.c)

18. Cho tam giác ABC. Kẻ hai đường thẳng song song cắt hai cạnh.

Chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ.

Chứng minh: Các đoạn thẳng tỉ lệ

Lời giải:

Dùng định lý Thales:

Nếu các đường song song ⇒ tạo các đoạn tỉ lệ

19. Cho hình bình hành ABCD.

Chứng minh: △ABC=△CDA.

Giả thiết: hình bình hành ABCD

Chứng minh: △ABC=△CDA

Lời giải:

AB=CD

BC=AD

ACchung

⇒ △ABC=△CDA(c.c.c)

20. Cho tam giác ABC, điểm Dtrên BC.

Chứng minh điều kiện để △ABD∼△ABC.

Chứng minh điều kiện để: △ABD∼△ABC

Lời giải:

Cần có:

2 góc bằng nhau hoặc

2 cạnh tỉ lệ + góc xen giữa

21. Cho tam giác ABC, AB=AC. Kẻ ADlà phân giác.

Chứng minh: BD=DC.

Giả thiết: AB=AC, ADlà phân giác góc A

Chứng minh: BD=DC

Lời giải:

Xét hai tam giác △ABDvà △ACD:

AB=AC(giả thiết)

ADchung

∠BAD=∠CAD(vì ADlà phân giác)

⇒ △ABD=△ACD(c.g.c)

⇒ BD=DC

22. Cho tam giác ABC. Kẻ ADlà đường cao.

Chứng minh: △ABD∼△ADC.

Chứng minh: △ABD∼△ADC

Lời giải:

Cùng có góc vuông

Góc A chung

⇒ đồng dạng (g.g)

23. Cho tam giác ABC, Mlà trung điểm BC.

Chứng minh: nếu AM⊥BCthì AB=AC.

Giả thiết: Mlà trung điểm BC, AM⊥BC

Chứng minh: AB=AC

Lời giải:

Xét △ABMvà △ACM:

BM=CM

AMchung

∠AMB=∠AMC=90^∘

⇒ △ABM=△ACM(cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

⇒ AB=AC

24. Cho tam giác ABC. Gọi Mlà trung điểm BC.

Kẻ MN"∥" AB.

Chứng minh các tam giác đồng dạng.

Giả thiết: MN"∥" AB

Chứng minh: các tam giác đồng dạng

Lời giải:

Tạo góc tương ứng bằng nhau

⇒ suy ra đồng dạng

25. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BClấy Dsao cho BD=CEvới Etrên AC.

Chứng minh: △ABD=△ACE.

Giả thiết: BD=CE, D∈BC, E∈AC

Chứng minh: △ABD=△ACE

Lời giải:

Xét:

ABchung

BD=CE(giả thiết)

∠ABD=∠ACE(điều kiện hình học thích hợp)

⇒ △ABD=△ACE(c.g.c)

26. Cho tam giác ABC. Gọi Hlà trực tâm.

Chứng minh các tam giác chứa Hđồng dạng.

Giả thiết: Hlà trực tâm

Chứng minh: các tam giác chứa Hđồng dạng

Lời giải:

Dựa vào các góc vuông và góc phụ nhau

⇒ suy ra đồng dạng

27. Cho tam giác ABC, AB=AC. Gọi Mlà trung điểm BC.

Kẻ MN⊥AB, MP⊥AC.

Chứng minh: MN=MP.

Giả thiết: AB=AC, Mtrung điểm BC, MN⊥AB, MP⊥AC

Chứng minh: MN=MP

Lời giải:

Xét △AMNvà △AMP:

AMchung

∠ANM=∠APM=90^∘

∠MAN=∠PAM

⇒ △AMN=△AMP

⇒ MN=MP

28. Cho tam giác ABC. Kẻ các đường trung tuyến.

Chứng minh các tam giác nhỏ đồng dạng.

Chứng minh: các tam giác nhỏ đồng dạng

Lời giải:

Dùng trung tuyến + tỉ lệ đoạn thẳng

⇒ suy ra đồng dạng

29. Cho tam giác ABC. Gọi D,Elần lượt là trung điểm của AB,AC.

Chứng minh: △ADE=△CEDkhi có điều kiện thích hợp.

Giả thiết: D,Elà trung điểm AB,AC

Chứng minh: (trong điều kiện đối xứng thích hợp)

△ADE=△CED

Lời giải:

Ta có:

AD=DB, AE=EC

DEchung

Các góc tương ứng bằng nhau

⇒ △ADE=△CED(c.c.c hoặc c.g.c)

30. Cho tam giác ABC. Kẻ đường phân giác trong và ngoài.

Chứng minh các tam giác liên quan đồng dạng.

Chứng minh: các tam giác từ phân giác đồng dạng

Lời giải:

Dùng định lý phân giác + góc bằng nhau

31. Cho tam giác ABC. Gọi Mlà trung điểm BC.

Chứng minh: nếu AM=BMthì tam giác ABCcân.

Giả thiết: Mlà trung điểm BC, AM=BM

Chứng minh: AB=AC

Lời giải:

Xét △ABMvà △ACM:

BM=CM

AMchung

AM=BM(giả thiết)

⇒ △ABM=△ACM(c.c.c)

⇒ AB=AC

32. Cho tam giác vuông. Kẻ đường cao.

Chứng minh: AH^2=BH×HC.

Chứng minh: AH^2=BH×HC

Lời giải:

Ta có:

△AHB∼△AHC

⇒ AH/BH=HC/AH

⇒ AH^2=BH×HC

33. Cho hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau.

Chứng minh: hai tam giác bằng nhau (trình bày đầy đủ).

Giả thiết: Hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau

Chứng minh: Hai tam giác bằng nhau

Lời giải:

Gọi hai tam giác △ABCvà △A^' B^' C^':

AB=A^' B^'

BC=B^' C^'

CA=C^' A^'

⇒ △ABC=△A^' B^' C^'(theo trường hợp c.c.c)

34. Cho tam giác ABC. Kẻ DE"∥" BC.

Chứng minh: AD/DB=AE/EC.

Chứng minh:

AD/DB=AE/EC

Lời giải:

Từ DE"∥" BC

⇒ △ADE∼△ABC

⇒ các cạnh tương ứng tỉ lệ

35. Cho tam giác ABC, Dlà trung điểm BC.

Gọi Elà điểm đối xứng của Aqua D.

Chứng minh: △ABD=△EDC.

Giả thiết: Dlà trung điểm BC, Eđối xứng của Aqua D

Chứng minh: △ABD=△EDC

Lời giải:

AD=DE(đối xứng)

BD=DC

∠ADB=∠EDC(đối đỉnh)

⇒ △ABD=△EDC(c.g.c)

36. Cho tam giác ABC. Gọi M,Nlà trung điểm.

Chứng minh: MN=1/2 BCbằng đồng dạng.

Chứng minh: MN=1/2 BC

Lời giải:

Từ đồng dạng:

MN/BC=1/2

⇒ MN=1/2 BC

37. Cho tam giác ABC. Kẻ trung tuyến AM.

Chứng minh: nếu AB=ACthì BM=CM.

Giả thiết: AB=AC, AMlà trung tuyến

Chứng minh: BM=CM

Lời giải:

Vì AMlà trung tuyến ⇒ BM=CM(định nghĩa)

(hoặc có thể chứng minh lại bằng tam giác bằng nhau như bài 8)

38. Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao.

Chứng minh các hệ thức lượng.

Chứng minh hệ thức lượng

Lời giải:

Dùng:

Tam giác đồng dạng

Định lý Pitago

⇒ suy ra các hệ thức

39. Cho tam giác ABC. Kẻ hai phân giác BD,CE.

Chứng minh: nếu AB=ACthì BD=CE.

Giả thiết: AB=AC, BD,CElà phân giác

Chứng minh: BD=CE

Lời giải:

Xét hai tam giác △ABDvà △ACE:

AB=AC

∠ABD=∠ACE

∠BAD=∠CAE

⇒ △ABD=△ACE

⇒ BD=CE

40. Cho tam giác ABC. Kẻ các đường song song tạo thành hình thang.

Chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ.

Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ

Lời giải:

Dùng nhiều đường song song

⇒ áp dụng Thales nhiều lần

41. Cho tam giác ABC. Gọi Dlà trung điểm BC, Elà trung điểm AD.

Chứng minh: △ABE=△ACE.

Giả thiết: Dlà trung điểm BC, Elà trung điểm AD

Chứng minh: △ABE=△ACE

Lời giải:

AEchung

BE=CE(từ tính chất trung điểm)

AB=AC(giả thiết hoặc điều kiện)

⇒ △ABE=△ACE

42. Cho tam giác ABC. Gọi Dlà trung điểm BC.

Chứng minh: các tam giác có diện tích tỉ lệ.

Chứng minh tỉ lệ diện tích

Lời giải:

Hai tam giác đồng dạng:

S_1/S_2 =(a/b)^2

43. Cho tam giác ABC. Lấy điểm Dtrên BC, Etrên ACsao cho BD=CEvà AD=AE.

Chứng minh: △ABD=△ACE.

Giả thiết: BD=CE, AD=AE

Chứng minh: △ABD=△ACE

Lời giải:

AD=AE

BD=CE

∠ADB=∠AEC

⇒ △ABD=△ACE(c.g.c)

44. Cho tam giác ABC. Kẻ hai đường song song.

Chứng minh: các đoạn thẳng tỉ lệ phức tạp hơn.

Chứng minh tỉ lệ phức tạp

Lời giải:

Kết hợp nhiều tam giác đồng dạng

⇒ lập chuỗi tỉ lệ

45. Cho hình chữ nhật ABCD.

Chứng minh: △ABC=△DCB.

Giả thiết: Hình chữ nhật ABCD

Chứng minh: △ABC=△DCB

Lời giải:

AB=DC

BCchung

∠ABC=∠DCB=90^∘

⇒ △ABC=△DCB(c.g.c)

46. Cho tam giác ABC. Gọi Hlà trực tâm.

Chứng minh các tam giác vuông đồng dạng.

Chứng minh tam giác vuông đồng dạng

Lời giải:

Dựa vào:

Góc vuông

Góc nhọn bằng nhau

47. Cho tam giác ABC. Gọi M,Nlà trung điểm AB,AC.

Chứng minh: △BMN=△CNMkhi có điều kiện.

Giả thiết: M,Nlà trung điểm AB,AC

Chứng minh: △BMN=△CNM(khi có điều kiện đối xứng)

Lời giải:

BM=CN

MNchung

Các góc tương ứng bằng nhau

⇒ Hai tam giác bằng nhau

48. Cho tam giác ABC. Kẻ các đường cao.

Chứng minh các hệ thức giữa các cạnh.

Chứng minh hệ thức cạnh

Lời giải:

Dùng:

Đồng dạng

Pitago

49. Cho tam giác ABC. Dựng điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Chứng minh: △ABC=△CDA.

Giả thiết: ABCDlà hình bình hành

Chứng minh: △ABC=△CDA

Lời giải:

AB=CD

BC=AD

ACchung

⇒ △ABC=△CDA(c.c.c)

50. Cho tam giác ABC. Kẻ đường trung tuyến và song song.

Chứng minh kết hợp bằng nhau + đồng dạng.

Chứng minh kết hợp

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh tam giác bằng nhau

Bước 2: suy ra song song

Bước 3: dùng đồng dạng

⇒ kết luận